Vào đầu học kì II của lớp 12, các em học sinh sẽ được học nguyên hàm. Trong chương này, các em sẽ làm quen những khái niệm, công thức nguyên hàm. Muốn giải nhanh các bài tập nguyên hàm thì việc nhớ chính xác mỗi công thức nguyên hàm là điều cần thiết, kế nữa em phải biết sử dụng công thức nào cho kết quả chính xác và nhanh. Do đó, huannghe.edu.vn đã dày công biên soạn không chỉ các công thức nguyên hàm toán lớp 12 mà còn nhiều bài tập có lời giải chi tiết
1. Bảng công thức nguyên hàm
a) Công thức cơ bản
Phần cơ bản này gồm 12 công thức nguyên hàm được sắp xếp thành bảng dưới đây:
b) Nguyên hàm mũ
Với nguyên hàm của hàm mũ được chia làm 8 công thức thuộc 2 chủ đề:
Hàm mũ eHàm mũ
c) Nguyên hàm lượng giác
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác này có 12 công thức thường xuyên gặp:
d) Công thức nguyên hàm căn thức
Nguyên hàm của căn thức trước giờ vẫn coi là khó nên huannghe.edu.vn đã tuyển chọn những công thức thường gặp, sau đó sắp xếp từ căn bản tới nâng cao
2. Bài tập nguyên hàm
a) Bài tập có lời giải
Câu 1. Hãy tìm nguyên hàm $int {frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}dx} $
A.$frac{{{x^2}}}{2} – ln left| {2 – x}
ight| + C$.
Đang xem: Nguyên hàm của căn bậc 2
B. $frac{{{x^2}}}{2} + ln left| {2 – x}
ight| + C$.
C. $frac{{{x^3}}}{3} – ln left| {2 – x}
ight| + C$.
D. $frac{{{x^3}}}{3} + ln left| {x – 2}
ight| + C$.
Lời giải
Chọn A
Vì $frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}$$ = frac{{{x^3} – 5x – 2}}{{{x^2} – 4}}$$ = frac{{left( {x + 2}
ight)left( {{x^2} – 2x – 1}
ight)}}{{left( {x + 2}
ight)left( {x – 2}
ight)}}$$ = x – frac{1}{{x – 2}}$
$ = int {left( {x – frac{1}{{x – 2}}}
ight){ ext{d}}x} = frac{{{x^2}}}{2} – ln left| {x – 2}
ight| + C$. $ Rightarrow int {frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}{ ext{d}}x} $$ = int {left( {x – frac{1}{{x – 2}}}
ight){ ext{d}}x} $$ = frac{{{x^2}}}{2} – ln left| {x – 2}
ight| + C$
Câu 2. Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f”(x) = ax + frac{b}{{{x^2}}}$ thỏa mãn $f’left( 1
ight) = 0;{ ext{ }}fleft( 1
ight) = 4;{ ext{ }}fleft( { – 1}
ight) = 2$
A. $fleft( x
ight) = frac{{{x^2}}}{2} – frac{1}{x} – frac{5}{2}$.
B. $fleft( x
ight) = frac{{{x^2}}}{2} + frac{1}{x} + frac{5}{2}$.
C. $fleft( x
ight) = frac{{{x^2}}}{2} – frac{1}{x} + frac{5}{2}$.
D. $fleft( x
ight) = frac{{{x^2}}}{2} + frac{1}{x} – frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Vì $f’left( 1
ight) = 0 Rightarrow a + b = 0{ ext{ }}left( 1
ight)$
Ta lại có $fleft( x
ight) = int {f’left( x
ight){ ext{d}}x} $$ = int {left( {ax + frac{b}{{{x^2}}}}
ight){ ext{d}}x} $$ = frac{{a{x^2}}}{2} – frac{b}{x} + C$
Vì $fleft( 1
ight) = 4$$ Leftrightarrow frac{a}{2} – b + C = 4$$ Leftrightarrow a – 2b + 2C = 8{ ext{ }}left( 2
ight)$
và $fleft( { – 1}
ight) = 2 Leftrightarrow frac{a}{2} + b + C = 2 Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4{ ext{ }}left( 3
ight)$
Giải hệ phương trình $left{ egin{array}{l} a + b = 0\ a – 2b + 2C = 8\ a + 2b + 2C = 4 end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l} a = 1\ b = – 1\ c = frac{5}{2} end{array}
ight.$
Vậy $fleft( x
ight) = frac{{{x^2}}}{2} + frac{1}{x} + frac{5}{2}$
Câu 3. Giá trị $m,n$ để hàm số $Fleft( x
ight) = left( {2m + n}
ight){x^3} + left( {3m – 2n}
ight){x^2} – 4x$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = 3{x^2} + 10x – 4$. Khi đó $8m – 2n$ là:
A. $6$.
B. $12$.
C. $10$.
D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn C
$int {left( {3{x^2} + 10x – 4}
ight)dx = {x^3} + 5{x^2} – 4x + C} $
Khi đó ta có $left{ egin{array}{l} 2m + n = 1\ 3m – 2n = 5\ C = 0 end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l} m = 1\ n = – 1\ C = 0 end{array}
ight.$ nên $8m – 2n = 10$.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{{2{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}$.
A. $int {f(x)dx = frac{1}{2}{{cos }^2}x – 2cos x + C} $.
B. $int {f(x)dx = {{cos }^2}x – 2cos x + C} $.
C. $int {f(x)dx = {{cos }^2}x + cos x} + C$.
D. $int {f(x)dx = frac{1}{2}{{cos }^2}x + 2cos x + C} $.
Xem thêm: Báo Giá Quạt Điện Cơ Thống Nhất Vinawind, Quạt Vinawind Chính Hãng, Giá Rẻ Tháng 10/2022
Lời giải
Chọn B
$int {left( {frac{{2{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}}
ight)dx} $ $ = int {left( {frac{{2sin x.{{sin }^2}x}}{{1 + cos x}}}
ight)dx} $ $ = int {left( {frac{{2sin xleft( {1 – {{cos }^2}x}
ight)}}{{1 + cos x}}}
ight)} dx$ $ = 2int {sin xleft( {1 – cos x}
ight)dx} $ $ = int {2left( {cos x – 1}
ight)dleft( {cos x}
ight)} $$ = {cos ^2}x – 2cos x + C$
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{{{{cos }^3}x}}{{{{sin }^5}x}}$.
A. $int {f(x).dx = } frac{{ – {{cot }^4}x}}{4} + C$.
B. $int {f(x).dx = } frac{{{{cot }^4}x}}{4} + C$.
C. $int {f(x).dx = } frac{{{{cot }^2}x}}{2} + C$.
D. $int {f(x).dx = } frac{{{{ an }^4}x}}{4} + C$.
Lời giải
Chọn A
$int {frac{{{{cos }^3}xdx}}{{{{sin }^5}x}}} $ $ = int {{{cot }^3}x.frac{{dx}}{{{{sin }^2}x}}} $ $ = – int {{{cot }^3}x.dleft( {cot x}
ight)} $ $ = frac{{ – {{cot }^4}x}}{4} + C$
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = cos 2xleft( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x}
ight)$.
A. $int {f(x).dx = } sin 2x – frac{1}{4}{sin ^3}2x + C$
B. $int {f(x).dx = } frac{1}{2}sin 2x + frac{1}{{12}}{sin ^3}2x + C$.
C. $int {f(x).dx = } frac{1}{2}sin 2x – frac{1}{{12}}{sin ^3}2x + C$.
D. $int {f(x).dx = } frac{1}{2}sin 2x – frac{1}{4}{sin ^3}2x + C$.
Lời giải
Chọn C
$int {cos 2xleft( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x}
ight)dx} $ $ = int {cos 2xleft< {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x}
ight) – 2{{sin }^2}x.{{cos }^2}x}
ight>dx} $
$ = int {cos 2xleft( {1 – frac{1}{2}{{sin }^2}2x}
ight)dx} $ $ = int {cos 2xdx} – frac{1}{2}int {{{sin }^2}2x.cos 2xdx} $ $ = int {cos 2xdx} – frac{1}{4}int {{{sin }^2}2x.dleft( {sin 2x}
ight)} $ $ = frac{1}{2}sin 2x – frac{1}{{12}}{sin ^3}2x + C$
Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( { an x + {e^{2sin x}}}
ight)cos x$.
A. $int {f(x)dx = } – cos x + frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$.
B. $int {f(x)dx = } cos x + frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$.
C. $int {f(x)dx = } – cos x + {e^{2sin x}} + C$.
D. $int {f(x)dx = } – cos x – frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$.
Lời giải
Chọn A
$int {left( { an x + {e^{2sin x}}}
ight)cos xdx} $ $ = int {sin xdx} + int {{e^{2sin x}}dleft( {sin x}
ight)} $ $ = – cos x + frac{1}{2}{e^{2sin x}} + C$
b) Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tự luyện
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = 2{x^3} – 9.$
A. $frac{1}{2}{x^4} – 9x + C.$
B. $4{x^4} – 9x + C.$
C. $frac{1}{4}{x^4} + C.$
D. $4{x^3} + 9x + C.$
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = {x^2} – frac{5}{x} + frac{3}{{{x^2}}} – frac{1}{3}$.
Xem thêm: Cường Đô La Gọi Điện Chúc Mừng Hồ Ngọc Hà Sinh Đôi, Văn Minh Quá
A. $frac{{{x^3}}}{3} – 5ln left| x
ight| – frac{3}{x} – frac{1}{3}x + C$
B. $frac{{{x^3}}}{3} – 5ln left| x
ight| + frac{3}{x} – frac{1}{3}x + C$
C. $2{x^3} – 5ln left| x
ight| – frac{3}{x} – frac{1}{3}x + C$
D. $2x – frac{5}{{{x^2}}} + frac{{3x}}{{{x^4}}} + C$
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – frac{1}{3}$ là:
A. $ – frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$
B. $ – frac{{{x^3}}}{3} + frac{1}{x} – frac{x}{3} + C$
C. $frac{{ – {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$
D. $ – frac{1}{x} – frac{{{x^3}}}{3} + C$
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = sqrt<3>{x}$
A. $Fleft( x
ight) = frac{{3sqrt<3>{{{x^2}}}}}{4} + C$
B. $Fleft( x
ight) = frac{{3xsqrt<3>{x}}}{4} + C$
C. $Fleft( x
ight) = frac{{4x}}{{3sqrt<3>{x}}} + C$
D. $Fleft( x
ight) = frac{{4x}}{{3sqrt<3>{{{x^2}}}}} + C$
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = frac{1}{{xsqrt x }}$
A. $Fleft( x
ight) = frac{2}{{sqrt x }} + C$
B. $Fleft( x
ight) = – frac{2}{{sqrt x }} + C$
C. $Fleft( x
ight) = frac{{sqrt x }}{2} + C$
D. $Fleft( x
ight) = – frac{{sqrt x }}{2} + C$
Trên đây là các công thức nguyên hàm lớp 11 được biên soạn từ cơ bản tới nâng cao. Muốn làm tốt bài tập hay rút gọn biểu thức thì việc học thuộc lòng những công thức trong bảng trên là cần thiết. Khi nhớ chính xác mỗi công thức, vận dụng nó một cách thuần thục thì giải bài tập trở lên nhanh, cho kết quả chính xác. Nguyên hàm là kiến thức bắt đầu học ở lớp 12, còn mới lạ, nhiều công thức, bài tập phức tạp. Nói là vậy nhưng nếu bạn chăm học, xem kĩ bài viết này và thường xuyên xem lại các công thức thì nó sẽ trở lên đơn giản.