+ Định lý giá trị trung gian (Intermediate value theorem) cho hàm liên tục – Định lý Bolzano-Cauchy, đạo hàm của một hàm khả vi – Định lý Darboux,
+ Định lý giá trị trung bình (Mean value theorem) cho hàm khả vi – Định lý Lagrange, Định lý Cauchy,
+ Định lý giá trị trung bình (Mean value theorem) cho tích phân.
Đang xem: định lý giá trị trung gian
Dưới đây ta lướt qua từng kết quả này.
Ta bắt đầu từ các Định lý giá trị trung gian. Các Định lý này nói về tính liên thông của tập giá trị. Chẳng hạn, dạng đơn giản nhất, nếu hàm liên tục
\to\mathbb R” class=”latex” /> có
trái dấu nhau thì nó có không điểm. Một cách phát biểu phức tạp, nếu
\to<0, 1>” class=”latex” /> là hàm liên tục thì nó có điểm bất động. Một cách hình ảnh, trên một vòng thép bị nung, ở bất kỳ thời điểm nào, luôn có hai điểm đối xứng qua tâm có cùng nhiệt độ.
Tiếp đến Định lý trung gian cho đạo hàm của hàm khả vi một biến, Định lý Darboux. Cụ thể, cho
\to\mathbb R” class=”latex” /> khả vi trong
và có đạo hàm phải
và đạo hàm trái
. Giả sử
Định lý Fermat cũng giúp ta chứng minh các Định lý Rolle, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy – các Định lý trung bình cho hàm khả vi. Một cách hình ảnh, để đi từ A đến B ta có thể đi vòng vèo, nhưng chắc chắn có lúc nào đó vec-tơ vận tốc tức thời cùng phương, cùng hướng với véc-tơ
.
Từ Định lý Cauchy ta có thể dẫn đến Quy tắc L’Hopital. Từ Định lý Lagrange ta có thể dẫn đến khai triển Taylor dạng Lagrange. Ngoài ra ta cũng có thể dẫn đến Định lý trung bình cho tích phân xác định của hàm liên tục. Ta thường gọi đây là Định lý trung bình thứ nhất.
Định lý trung bình thứ hai khá phức tạp. Các bạn có thể tham khảo
http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem
Quay trở lại Định lý trung bình thứ nhất, từ đây ta có thể dẫn đến Định lý Pappus.
+ (Định lý Pappus) Cho mặt tròn xoay có đường sinh
\to <0, \infty)" class="latex" />
có diện tích xung quanh
^2}dx” class=”latex” />.
Xem thêm: Cách Vẽ Sơ Đồ Phả Hệ Như Thế Nào? Mẫu Phả Đồ, Sơ Đồ Phả Hệ Đẹp
Áp dụng Định lý trung bình thứ nhất cho:
và
^2}” class=”latex” /> có điểm
” class=”latex” /> sao cho
^2}dx” class=”latex” />.
Chú ý rằng
^2}dx” class=”latex” />
chính là độ dài của đường sinh.
Như vậy ta có Định lý Pappus: diện tích mặt tròn xoay được cho bởi
,
^2}dx” class=”latex” /> là độ dài đường sinh,
^2}dx” class=”latex” /> là khoảng cách từ trọng tâm của đường sinh đến trục xoay.
+ (Định lý Pappus) cho vật tròn xoay cũng có đường sinh như trên có thể tích
.
Lại áp dụng Định lý trung bình thứ nhất cho
và
có điểm
” class=”latex” /> sao cho
.
Như vậy ta có Định lý Pappus: thể tích của vật tròn xoay được cho bởi:
,
là diện tích miền nằm giữa trục xoay và đường sinh,
là khoảng cách giữa trục xoay và trọng tâm miền nằm giữa trục xoay và đường sinh.
Một cách tổng quát ta cũng có Định lý Pappus cho mặt hay vật có trục đối xứng. Chẳng hạn hình xuyến:
+ mặt xuyến được tạo bởi việc quay một vòng tròn quanh một trục không đi qua vòng tròn có diện tích
,
với
là bán kính của vòng tròn,
là khoảng cách từ tâm vòng tròn đến trục xoay;
+ thể tích hình xuyến được tạo bởi việc xoay một mặt tròn quanh một trục không đi qua mặt tròn có thể tích