Các ký hiệu trong toán học được sử dụng khi thực hiện các phép toán khác nhau. Việc tham khảo các đại lượng Toán học trở nên dễ dàng hơn khi dùng ký hiệu toán học. Trên thực tế, khái niệm toán học phụ thuộc hoàn toàn vào các con số và ký hiệu. Chính vì vậy, việc nắm rõ các ký hiệu toán học trở nên vô cùng quan trọng với học sinh.

1. Các ký hiệu toán học cơ bản

Các ký hiệu trong toán học cơ bản giúp con người làm việc một cách lý thuyết với các khái niệm toán học. Chúng ta không thể làm toán nếu không có các ký hiệu. Các dấu hiệu và ký hiệu toán học chính là đại diện của giá trị. Những suy nghĩ toán học được thể hiện bằng cách sử dụng các ký hiệu. Nhờ trợ giúp của các ký hiệu, một số khái niệm và ý tưởng toán học nhất định được giải thích rõ ràng hơn. Dưới đây là danh sách các ký hiệu toán học cơ bản thường được sử dụng.

Đang xem: Các ký hiệu trong toán học

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ
= dấu bằng bình đẳng 3 = 1 + 23 bằng 1 + 2
không dấu bằng bất bình đẳng 3 ≠ 43 không bằng 4
khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ sin (0,01) ≈ 0,01,a ≈ b nghĩa là a xấp xỉ bằng bb

/

bất bình đẳng nghiêm ngặt lớn hơn 4/ 3lớn hơn 3
bất bình đẳng nghiêm ngặt nhỏ hơn 3 3 nhỏ hơn 4
bất bình đẳng lớn hơn hoặc bằng 4 ≥ 3, a ≥ b là kí hiệu cho a lớn hơn hoặc bằng b
bất bình đẳng nhỏ hơn hoặc bằng 3 ≤ 4,a ≤ b nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b
()

dấu ngoặc đơn

tính biểu thức bên trong đầu tiên 2 × (4 + 6) = 20
<>

dấu ngoặc

tính biểu thức bên trong đầu tiên <(8 + 2) × (1 + 1)> = 20
+ dấu cộng thêm vào 1 + 3 = 4
dấu trừ

phép trừ

4 – 1 = 3
± cộng – trừ cả phép cộng và trừ 3 ± 1 = 1 hoặc 2
± trừ – cộng cả phép trừ và cộng 3 ∓ 2 = 1 hoặc 5
* dấu hoa thị phép nhân 2 * 5 = 10
× dấu thời gian phép nhân 2 × 4 = 8
. dấu chấm chân phép nhân 3 ⋅ 4 = 12
÷ dấu hiệu phân chia sựphân chia 4 ÷ 2 = 2
/

dấu gạch chéo

sự phân chia 4/2 = 2
đường chân trời chia / phân số $frac{6}{3}$ = 2
mod modulo tính toán phần còn dư 9 mod 2 = 1
. giai đoạn = Stage dấu thập phân 3,56 = 3 + 56/100
$a^{b}$ quyền lực số mũ $3^{3}$ = 9
a ^ b dấu mũ số mũ 3 ^ 3 = 9
√ a căn bậc hai √ a ⋅ √ a = a √ 4 = ± 2
$sqrt<3>{a}$ gốc hình khối $sqrt<3>{f}$ ⋅ $sqrt<3>{f}$ ⋅ $sqrt<3>{f}$ = f $sqrt<3>{27}$ = 3
$sqrt<4>{a}$ gốc thứ tư $sqrt<4>{g}$ ⋅ $sqrt<4>{g}$ ⋅ $sqrt<4>{g}$ ⋅ $sqrt<4>{g}$ = g

$sqrt<4>{81}$ = ± 3

$sqrt{a}$ gốc thứ n (gốc) với n = 3, $sqrt{27} = 3$
% phần trăm 1% = 1/100 10% × 20 = 2
phần nghìn 1 ‰ = 1/1000 = 0,1% 10 ‰ × 20 = 0,2
ppm mỗi triệu 1ppm = 1/1000000 10ppm × 20 = 0,0002
ppb mỗi tỷ 1ppb = 1/1000000000 10ppb × 20 = 2 × $10^{-7}$
ppt mỗi nghìn tỷ 1ppt = $10^{-12}$ 10ppt × 20 = 2 × $10^{-10}$

2. Các ký hiệu số trong toán học

Tên Tây Ả Rập Roman Đông Ả Rập Do Thái
không 0 ٠
một 1 I ١ א
hai 2 II ٢ ב
ba 3 III ٣ ג
bốn 4 IV ٤ ד
năm 5 V ٥ ה
sáu 6 VI ٦ ו
bảy 7 VII ٧ ז
tám 8 VIII ٨ ח
chín 9 IX ٩ ט
mười 10 X ١٠ י
mười một 11 XI ١١ יא
mười hai 12 XII ١٢ יב
mười ba 13 XIII ١٣ יג
mười bốn 14 XIV ١٤ יד
mười lăm 15 XV ١٥ טו
mười sáu 16 XVI ١٦ טז
mười bảy 17 XVII ١٧ יז
mười tám 18 XVIII ١٨ יח
mười chín 19 XIX ١٩ יט
hai mươi 20 XX ٢٠ כ
ba mươi 30 XXX ٣٠ ל
bốnmươi 40 XL ٤٠ מ
nămmươi 50 L ٥٠ נ
sáumươi 60 LX ٦٠ ס
bảymươi 70 LXX ٧٠ ע
támmươi 80 LXXX ٨٠ פ
chínmươi 90 XC ٩٠ צ
một trăm 100 C ١٠٠ ק

3. Ký hiệu đại số

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ
x biến x giá trị không xác định cần tìm 3x = 6 thì x = 2

tương đương giống hệt
bằng nhau theo định nghĩa bằng nhau theo định nghĩa
: = bằng nhau theo định nghĩa bằng nhau theo định nghĩa
~ khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ yếu 2,5 ~ 33
khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ sin (0,01) ≈ 0,01
tỷ lệ với tỷ lệ với b ∝ a khi b = ka, k hằng số
vô cực vô cực
ít hơn rất nhiều so với ít hơn rất nhiều so với 1 ≪ 1000000000
lớn hơn nhiều lớn hơn nhiều 1000000000 ≫ 1
() dấu ngoặc đơn tính toán biểu thức phía trong trước tiên 2 * (4 + 5) = 18
<> dấu ngoặc tính toán biểu thức phía trong trước tiên <(1 + 0,5) * (1 + 3)> = 6
{} dấu ngoặc nhọn thiết lập
⌊ x ⌋ làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên thấp hơn làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên thấp hơn ⌊4,3⌋ = 4
⌈ x ⌉ làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên lớn hơn làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên lớn hơn ⌈4,3⌉ = 5
x ! giai thừa giai thừa 4! = 1.2.3.4
| x | giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối | -3 | = 3
f ( x ) hàm của x các giá trị của x ánh xạ thành f (x) f ( x ) = 2 x +4
( f ∘ g ) thành phần chức năng ( h ∘ i ) ( x ) = h ( i ( x )) h ( x ) = 5 x , i ( x ) = x -3 ⇒ ( h ∘ i ) ( x ) = 5 ( x -3)
( a , b ) khoảng thời gian mở ( a , b ) = { y | a c ∈ (3,7)
< a , b > khoảng thời gian đóng < a , b > = { j | a ≤ j ≤ b } j ∈ <3,7>
thay đổi / khác biệt thay đổi / khác biệt ∆ t = $t_{x+1}$ – $t_{x}$
Δ = $b^{2}$ – 4 ac
sigma tổng – tổng của toàn bộ các giá trị trong phạm vi của chuỗi

∑ $x_{i}$ = $x_{1}$ + $x_{2}$ + … + $x_{n-1}$ + $x_{n}$

∑∑ sigma

tổng kép

$sum_{j=1}^{3}$ $sum_{i=1}^{9}$ $x_{i,j}$ = $sum_{i=1}^{9}$ $x_{i,1}$ + $sum_{i=1}^{8}$ $x_{i,3}$
số pi vốn sản phẩm – sản phẩm của toàn bộ các giá trị trong phạm vi ∏ $x_{i}$ = $x_{1}$ ∙ $x_{2}$ ∙ … ∙ $x_{n-1}$ ∙ $x_{n}$
e hằng số/ số Euler e = 2,718281 … e = lim $(1 + 1 / x)^{x}$ , trong đó x → ∞
γ hằng số γ = 0,5772156649 …

Xem thêm: Cách Kết Nối Đt Với Máy Tính Cực Đơn Giản, Tổng Hợp Cách Kết Nối Điện Thoại Và Máy Tính

φ Tỉ lệ vàng tỷ lệ không đổi
π hằng số pi π = 3,1415926 …là tỷ số giữa chu vi hình tròn và đường kính của hình tròn đó d⋅π = 2⋅ π ⋅ r =c

4. Các ký hiệu xác suất và thống kê

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ
P ( A ) hàm xác suất xác suất của một sự kiện A P ( A ) = 0,3
P ( A ⋂ B ) xác suất các sự kiện giao nhau

xác suất của các sự kiện A và sự kiện B

P ( A ⋃ B )

xác suất kết hợp xác suất của các sự kiện A hoặc sự kiện B
P ( A | B ) hàm xác suất có điều kiện xác suất của sự kiện A cho trước sự kiện đã xảy ra B
f ( x )

hàm mật độ xác suất (pdf)

Q ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx f ( x ) = 2x+3
F ( x ) hàm phân phối (cdf)
μ dân số trung bình

giá trị dân số trung bình

μ = 12
E ( X ) kỳ vọng giá trị kỳ vọng của X (X là biến ngẫu nhiên) E ( X ) = 10

E ( X | Y )

giá trị kỳ vọng có điều kiện giá trị kỳ vọng của X cho trước Y E ( X | Y = 33 ) = 90
var ( X ) phương sai phương sai của biến ngẫu nhiên X var ( X ) = 3
$sigma ^{2}$ phương sai phương sai của các giá trị $sigma ^{2}$ = 9
std ( X ) độ lệch chuẩn giá trị độ lệch chuẩn của X (X là biến ngẫu nhiên) std ( X ) = 3
$sigma _{X}$ độ lệch chuẩn độ lệch chuẩn của biến X ngẫu nhiên $sigma _{x}$ = 4
trung bình giá trị trung bình của biến X (ngẫu nhiên) = 5
cov ( X , Y ) hiệp phương sai giá trị hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên X và Y cov ( X, Y ) = 6
corr ( X , Y ) tương quan sự tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y corr ( X, Y ) = 0,7
$
ho _{X,Y}$
tương quan sự tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y $
ho _{X,Y}$ = 0,8

tổng

tổng của toàn bộ các giá trị trong phạm vi của chuỗi $sum_{i=1}^{3} x_{i} = x_{1} + x_{2} + x_{3}$
∑∑

tổng kép

tổng kết kép $sum_{j=1}^{3} sum_{i=1}^{9} x_{i,j} = sum_{i=1}^{9} x_{i,1} + sum_{i=1}^{8} x_{i,3}$
Mo mốt giá trị xuất hiện thường xuyên nhất
MR tầm trung MR = ( $x_{1} + x_{2}$ ) / 2 trong đó $x_{1}$là max, $x_{2}$ là min
Md trung bình mẫu
$Q_{1}$ phần tư đầu tiên
$Q_{2}$ phần tư thứ hai / trung vị
$Q_{3}$ phần tư thứ ba / phần tư trên
x

trung bình mẫu

giá trị trung bình

$s^{2}$

giá trị phương sai mẫu phương sai mẫu $s^{2}$ = 8
s độ lệch chuẩn mẫu độ lệch chuẩn s = 2
$z_{x}$ giá trị điểm chuẩn $z_{a} = (a – ar{a}) / s_{a}$
X ~ phân phối phân phối của biến ngẫu nhiên X X ~ N (0,2)
N ( μ , $sigma ^{2}$ ) phân phối bình thường phân phối gaussian X ~ N (0,2)
Ư ( a , b ) phân bố đồng đều xác suất bằng nhau trong phạm vi x, y X ~ U (0,2)
exp (λ) phân phối theo cấp số nhân f ( y ) = $lambda e^{-lambda y}$ , trong đó y ≥0
gamma ( c , λ) phân phối gamma f ( x ) = $lambda$ $cx^{c-1} e^{-lambda x} /$ Γ ( c ) với x ≥0
χ 2 ( h ) phân phối chi bình phương f ( x ) = $x^{h/2-1} e^{-x/2} / (2^{h/2} Gamma (h/2))$
F ( k 1 , k 2 ) phân phối F
Bin ( n , p ) phân phối nhị thức

f ( k ) =${(1-p)^{nk}}_{n}C_{k} p^{k}$

Poisson (λ) phân phối Poisson f ( k ) = $(lambda ^{k}e^{-lambda }) / k!$
Geom ( p ) phân bố hình học
Bern ( p ) Phân phối Bernoulli

5. Ký hiệu giải tích và phân tích

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ
lim giới hạn giới hạn của một hàm $lim_{x
ightarrow x_{0}} f(x) = 1 $
ε epsilon số rất nhỏ, gần bằng không ε → 0
e hằng số

e = 2,7182818 …

e = $lim_{}(1+1/x)^{x}$ , trong đó x → ∞
y “ đạo hàm đạo hàm – Lagrange ($x^{9}$) “= 9 $x^{8}$
y “” đạo hàm thứ hai đạo hàm của đạo hàm 72 $x^{7}$ = ( $x^{9}$) “”

$y^{n}$

đạo hàm thứ n n lần đạo hàm 32 = (4 $x^{3}$ )$^{(3)}$
$frac{dy}{dx}$ dẫn xuất dẫn xuất – ký hiệu Leibniz d (4 $x^{3}$ ) / dx = 16 $x^{2}$
$frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ dẫn xuất thứ hai đạo hàm của đạo hàm $d^{2}$ (4 $x^{3}$ ) / d$x^{2}$ = 32 x
$frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ dẫn xuất thứ n n lần dẫn xuất
*
đạo hàm thời gian ( ký hiệu Newton ) đạo hàm theo thời gian
*
đạo hàm thời gian thứ hai đạo hàm của đạo hàm
$D_{x}y$ dẫn xuất dẫn xuất – ký hiệu Euler
${D_{x}}^{2}y$ Dẫn xuất thứ hai đạo hàm của đạo hàm
*
đạo hàm riêng $partial (a^{2} + b^{2})/partial a= 2a$
Tích phân đối lập với dẫn xuất ∫ f (x) dx = 1
∫∫ tích phân kép ∫∫ f (x, y) dxdy
∫∫∫ tích phân ba ∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz
tích phân đường
tích phân bề mặt đóng
tích phân khối lượng đóng
< a , b >

khoảng thời gian đóng

< y , z > = { k | y ≤ k ≤ z }
( a , b ) khoảng thời gian mở

( i , j ) = {w | i

i đơn vị tưởng tượng i ≡ √ -1 z = 2,5 + 2 i
z* liên hợp phức z = a + ci → z * = a – ci z * = 2,5 – 2 i
Re ( z ) phần thực của một số phức z = a + ci → Re ( z ) = a Re (2,5- 2 i ) = 2,5
Im ( z ) phần ảo của một số phức z = a + qi → Im ( z ) = q Im (3,5 – 3i ) =- 3
| z | giá trị tuyệt đối | z | = | a + li | = √ $(a^{2} + l^{2})$
arg ( z ) đối số của một số phức chính là góc của bán kính (trong mặt phẳng phức)
nabla / del toán tử gradient / phân kỳ
*
vector
*
đơn vị véc tơ
x * y tích chập y ( j ) = x ( j ) * h ( j )
*
biến đổi laplace

F ( y ) = { f ( o )}

*
biến đổi Fourier X (ω) = { f ( p)}
δ hàm delta
vô cực vô cực

6. Các ký hiệu trong toán hình học

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ
góc tạo bởi hai tia ∠ABC = 60 °
*

góc đo được

*

ABC = 50 °

*
góc hình cầu
*

AOB = 40 °

góc vuông bằng 90 ° α = 90 °
° độ 1 vòng = 360 ° α = 60 °
deg độ 1 vòng = 360deg α = 60deg
nguyên tố arcminute, 1 ° = 60 “ α = 60 ° 59 ′

số nguyên tố kép

arcsecond, 1 ′ = 60 ″ α = 60 ° 59′59 ″
*
hàng dòng vô tận
AB đoạn thẳng từ điểm A đến điểm B
*
tia bắt đầu từ điểm A
*
cung cung từ điểm A đến điểm B
*

= 30 °

vuông góc đường vuông góc (tạo góc 90 °) AC ⊥ AD
song song, tương đồng song song AB ∥ DE
~ đồng dạng hình dạng giống nhau, có thể không cùng kích thước ∆ABC ~ ∆XYZ
Δ hình tam giác Hình tam giác ΔABC≅ ΔBCD
| x – y | khoảng cách khoảng cách giữa điểm x & điểm y | x – y | = 5
π số pi π = 3,1415926 … π ⋅ d = 2. r.π = c
rad radian đơn vị góc radian 360 ° = 2π rad
c radian đơn vị góc radian 360 ° = 2π c
grad gons cấp đơn vị đo góc 360 ° = 400 grad
g gons cấp đơn vị đo góc 360 ° = 400g

7. Biểu tượng Hy Lạp

Chữ viết hoa Chữ cái thường Tên chữ cái Hy Lạp Tiếng Anh tương đương Tên chữ cáiPhát âm
A α Alpha a al-fa
B β Beta b be-ta
Γ γ Gamma g ga-ma
Δ δ Delta d del-ta
E ε Epsilon đ ep-si-lon
Z ζ Zeta z ze-ta
H η Eta h eh-ta
Θ θ Theta th te-ta
I ι Lota tôi io-ta
K κ Kappa k ka-pa
Λ λ Lambda l lam-da
M μ Mu m m-yoo
N ν Nu n noo
Ξ ξ Xi x x-ee
O o Omicron o o-mee-c-ron
Π π Pi p pa-yee
Ρ ρ Rho r hàng
Σ σ Sigma s sig-ma
Τ τ Tau t ta-oo
Υ υ Upsilon u oo-psi-lon
Φ φ Phi ph học phí
Χ χ Chi ch

kh-ee

Ψ ψ Psi ps p-see
Ω ω Omega o o-me-ga

8. Số La Mã

Số Số la mã
0
1 I
2 II
3 III
4 IV
5 V
6 VI
7 VII
8 VIII
9 IX
10 X
11 XI
12 XII
13 XIII
14 XIV
15 XV
16 XVI
17 XVII
18 XVIII
19 XIX
20 XX
30 XXX
40 XL
50 L
60 LX
70 LXX
80 LXXX
90 XC
100 C
200 CC
300 CCC
400 CD
500 D
600

DC

700 DCC
800 DCCC
900 CM
1000 M
5000 V
10000 X
50000 L
100000 C
500000 D
1000000 M

9. Biểu tượng logic

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ
x . y
^ dấu mũ / dấu mũ x ^ y
& dấu và

x & y

+ thêm hoặc x + y
dấu mũ đảo ngược hoặc x ∨ y
| đường thẳng đứng hoặc x | y
x “ trích dẫn duy nhất không – phủ định x “
$ar{x}$ quầy bar không – phủ định $ar{x} $
¬ không không – phủ định ¬ x
! dấu chấm than không – phủ định ! x
khoanh tròn dấu cộng / oplus độc quyền hoặc – xor x ⊕ y
~ dấu ngã phủ định ~ x
ngụ ý
tương đương khi và chỉ khi (iff)
tương đương khi và chỉ khi (iff)
cho tất cả
có tồn tại
không tồn tại
vì thế
bởi vì / kể từ

10. Đặt ký hiệu lý thuyết

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ
{} thiết lập tập hợp các yếu tố A = {3,5,9,11},B = {6,9,4,8}
A ∩ B giao các phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp A và B A ∩ B = {9}
A ∪ B hợp các đối tượng thuộc tập A hoặc tập B A ∪ B = {3,5,9,11,6,4,8}
A ⊆ B tập hợp con A là tập con của B. Tập A được đưa vào tập B. {9,14} ⊆ {9,14}
A ⊂ B tập hợp con nghiêm ngặt Tập hợp A là một tập con của tập hợp B, nhưng A không bằng B.

Xem thêm:

{9,14} ⊂ {9,14,29}

A ⊄ B

không phải tập hợp con

Một tập tập hợp không là tập con của tập còn lại

{9,66} ⊄ {9,14,29}
A ⊇ B tập hợp A là một siêu tập hợp của tập hợp B và tập hợp A bao gồm tập hợp B {9,14,28} ⊇ {9,14,28}
A ⊃ B A là một tập siêu của B, tuy nhiên tập B không bằng tập A. {9,14,28} ⊃ {9,14}
$2^{A}$ bộ nguồn tất cả các tập con của A

*

bộ nguồn tất cả các tập con của A
A = B bình đẳng Tất cả các phần tử giống nhau A = {3,9,14},B = {3,9,14},A = B
$A^{c}$ bổ sung tất cả các đối tượng đều không thuộc tập hợp A
A B bổ sung tương đối đối tượng thuộc về tập A tuy nhiên không thuộc về B A = {3,9,14},B = {1,2,3},A B = {9,14}
A – B bổ sung tương đối đối tượng thuộc về tập A và không thuộc về tập B A = {3,9,14},B = {1,2,3},AB = {9,14}
A ∆ B sự khác biệt đối xứng

các đối tượng thuộc A hoặc B nhưng không tập giao của chúng

A = {3,9,14},B = {1,2,3},A ∆ B = {1,2,9,14}
A ⊖ B sự khác biệt đối xứng các đối tượng thuộc A hoặc B nhưng không thuộc hợp của chúng A = {3,9,14},B = {1,2,3},A ⊖ B = {1,2,9,14}
a ∈ A phần tử của,thuộc về A = {3,9,14}, 3 ∈ A
x ∉ A không phải phần tử của A = {3,9,14}, 1 ∉ A
( a , b ) cặp bộ sưu tập của 2 yếu tố
A × B tập hợp tất cả các cặp có thể được sắp xếp từ A và B
| A | bản chất số phần tử của tập A
#A bản chất số phần tử của tập A A = {3,9,14}, # A = 3
| thanh dọc như vậy mà A = {x | 3

*

aleph-null bộ số tự nhiên vô hạn

*

aleph-one số lượng số thứ tự đếm được
Ø bộ trống Ø = {} C = {Ø}

*

bộ phổ quát tập hợp tất cả các giá trị có thể
$mathbb{N}_{0}$ bộ số tự nhiên / số nguyên (với số 0) $mathbb{N}_{0}$ = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈ $mathbb{N}_{0}$
$mathbb{N}_{1}$ bộ số tự nhiên / số nguyên (không có số 0) $mathbb{N}_{1}$ = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈ $mathbb{N}_{1}$

*

bộ số nguyên = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈

*

*

bộ số hữu tỉ

*

= { x | x = a / b , a , b ∈

*

}

2/6 ∈

*
*
bộ số thực
*

= { x | -∞

6.343434 ∈

*
*
bộ số phức
*

= { z | z = a + bi , -∞

6 + 2 i ∈

*

Trên đây là tổng hợp các ký hiệu trong toán học đầy đủ và chi tiết nhất. Hy vọng rằng các em có thể làm quen hoàn toàn với các ký hiệu để giải toán một cách hiệu quả. Hãy truy cập vào huannghe.edu.vn và đăng ký tài khoản để ôn tập kiến thức Toán 12 các kiến thứcliên quan đến môn toán nhé!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *